Question

（2012•寧德質(zhì)檢）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，F(xiàn)是AB延長線上一點，∠FCB=∠A．
（1）求證：直線CF是⊙O的切線；
（2）若DB=4，sinD=

2

5

，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由OA=OA可知∠ACO=∠A，再根據(jù)∠FCB=∠A可知∠ACO=∠FCB，由于AB是⊙O的直徑，所以∠ACO+∠OCB=90°故∠FCB+∠OCB=90°故可得出結(jié)論；
（2）由AB是⊙O的直徑，CD⊥AB可知

BC

=

BD

，再根據(jù)BC=BD=4，可知∠D=∠A，由sinD=

2

5

得出sinA=

2

5

，故可得出

BC

AB

=

2

5

，進而得出AB的長．

解答：證明：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
又∵∠FCB=∠A
∴∠ACO=∠FCB，
又∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACO+∠OCB=90°，∠FCB+∠OCB=90°
∴直線CF為⊙O的切線，

（2）∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD=4，∠D=∠A，
又∵sinD=

2

5

，
∴sinA=

2

5

，
∴

BC

AB

=

2

5

∴AB=10．
答：⊙O的直徑為10．

點評：本題考查的是切線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．