Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點D地邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上。

（1）求證：△ADE≌△BGF；

（2）若正方形DEFG的面積為16cm2，求AC的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=cm．

【解析】

試題分析：（1）先根據等腰直角三角形的性質得出∠B=∠A=45°，再根據四邊形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出結論；

（2）過點C作CH⊥AB于點H，由正方形DEFG的面積為16cm2可求出其邊長，故可得出AB的長，在Rt△ADE中，根據勾股定理可求出AD的長，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的對應邊成比例即可求出AC的長．

試題解析：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠B=∠A=45°，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴∠BFG=∠AED=90°，

故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，

∵在△ADE與△BGF中，

，

∴△ADE≌△BGF（ASA）；

（2）過點C作CH⊥AB于點H，

∵正方形DEFG的面積為16cm2，

∴DE=AE=4cm，

∴AB=3DE=12cm，

∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，

∴AH=AB=×12=6cm，

在Rt△ADE中，

∵DE=AE=4cm，

∴AD=cm，

∵CH⊥AB，DE⊥AB，

∴CH∥DE，

∴△ADE∽△ACH，

∴，，

解得AC=cm．