Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于點D，若AB=1，則D到AC的距離為    ．

Answer 1

【答案】分析：過點D作DE⊥AB于點E，根據三角形內角和等于180°求出∠B=60°，設DE=x，求出△AED是等腰直角三角形，從而得到AE=x，然后表示出BE，再根據直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解得到DE的長度，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可．
解答：解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵∠BAC=90°，∠B=2∠C，
∴∠B+∠B+90°=180°，
解得∠B=60°，
∴∠BDE=90°-60°=30°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
設DE=x，則AE=x，
∵AB=1，
∴BE=1-x，
BD=2BE=2（1-x），
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，
即4（1-x）²=（1-x）²+x²，
整理得，2x²-6x+3=0，
解得x₁=，x₂=（舍去），
即DE=，
∵AD平分∠BAC，
∴D到AC的距離等于DE的長度，為．
故答案為：．
點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，作輔助線，構造出直角三角形是解題的關鍵．