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【題目】問題提出:將正m邊形(m≥3)不斷向外擴展,每擴展一個正m邊形每條邊上的點的個數(以下簡稱點數”)就增加一個,則n個正m邊形的點數總共有多少個?

問題探究:為了解決上面的問題,我們將采取將一般問題特殊化的策略,先從簡單和具體的情形入手:

探究一:n個正三角形的點數總共有多少個?

如圖111個正三角形的點數總共有3個;如圖122個正三角形的點數總共有6個;如圖133個正三角形的點數總共有10個;n個正三角形的點數總共有   個.

探究二:n個正四邊形的點數總共有多少個?

如圖211個正四邊形的點數總共有4個;如圖222個正四邊形的點數總共有9個;

如圖23,連接AC,得到兩個三角形△ABC和△ADC,這兩個三角形相同之處在于,BC邊與CD邊都有相同個數的點,即4個點,并且與BCCD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A,每個三角形都有10個點,兩個三角形就是2×10個點.因為這兩個三角形在AC上有4個點重合,所以3個正四邊形的點數總共有2×10416()

如圖244個正四邊形的點數總共有   個;……n個正四邊形的點數總共有   個.

探究三:n個正五邊形的點數總共有多少個?

類比探究二的方法,求4個正五邊形的點數總共有多少個?并敘述你的探究過程.

n個正五邊形的點數總共有   個.

探究四:n個正六邊形的點數總共有   個.

問題解決:n個正m邊形的點數總共有   個.

實際應用:若99個正m邊形的點數總共有39700個,求m的值.

【答案】探究一:;探究二:25(n+1)2;探究三:(n+1)(3n+2);探究四:(n+1)(2n+1);問題解決:;實際應用:m=10

【解析】

探究一:n個正三角形的點數總個數是前(n+1)個數的和;

探究二:491625…,發現n個正四邊形的點數總共有(n+1)2個;

探究三:如圖31,直接數點的個數為5個,如圖32,連接ACAD,得到三個三角形,每個三角形都有6個點,就是3×618個點,因為每兩個三角形有3個點重合,所以,2個正五邊形的點數總共有:3×62×312個;同理得如圖333個正五邊形的點數總共有:3×102×422個;如圖344個正五邊形的點數總共有:3×152×535個,確定規律得:n個正五邊形的點數總共有:個;

探究四:如圖31,直接數點的個數為6個,如圖42,連接A'C'A'D'A'E',得到4個三角形,每個三角形都有1+2+36個點,就是24個點,因為每兩個三角形有3個點重合,所以,2個正五邊形的點數總共有:4×63×315個;同理得點的個數依次為:28455×9(n+1)(2n+1)個;

問題解決:根據以上規律可得結論;

實際應用:將n99代入問題解決的等式中解方程即可.

解:探究一:

如圖111個正三角形的點數總共有3個,即31+2

如圖122個正三角形的點數總共有6個,即61+2+3

如圖133個正三角形的點數總共有10個,即101+2+3+4

n個正三角形的點數總共有:個;

故答案為:

探究二:

如圖211個正四邊形的點數總共有4個,即422

如圖222個正四邊形的點數總共有9個,即932

如圖23,連接AC,得到兩個三角形ABCADC,這兩個三角形相同之處在于,BC邊與CD邊都有相同個數的點,即4個點,并且與BCCD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A,每個三角形都有10個點,兩個三角形就是2×10個點.因為這兩個三角形在AC上有4個點重合,所以3個正四邊形的點數總共有2×10416(),即1642

如圖24,連接AC,得到兩個三角形ABCADC,這兩個三角形相同之處在于,BC邊與CD邊都有相同個數的點,即5個點,并且與BCCD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A,每個三角形都有15個點,兩個三角形就是2×15個點.因為這兩個三角形在AC上有5個點重合,所以4個正四邊形的點數總共有2×15525(),即2552

n個正四邊形的點數總共有個;

故答案為:25(n+1)2

探究三:

如圖311個正五邊形的點數總共有5個,即

如圖32,連接ACAD,得到三個三角形,每個三角形都有6個點,就是3×618個點,因為每兩個三角形有3個點重合,所以,2個正五邊形的點數總共有:3×62×312個,即

如圖33,連接A'C'A'D',得到三個三角形,每個三角形都有10個點,就是3×1030個點,因為每兩個三角形有4個點重合,所以,3個正五邊形的點數總共有:3×102×422個,即

如圖34,連接ACAD,得到三個三角形,每個三角形都有15個點,就是3×1545個點,因為每兩個三角形有5個點重合,所以,4個正五邊形的點數總共有:3×152×535個,即

同理得:n個正五邊形的點數總共有:(n+1)(3n+2)個;

故答案為:(n+1)(3n+2)

探究四:

如圖411個正六邊形的點數總共有6個,即62×3

如圖42,連接A'C'A'D'A'E',得到4個三角形,每個三角形都有6個點,就是4×624個點,因為每兩個三角形有3個點重合,所以,2個正六邊形的點數總共有:4×63×315個,即153×5

如圖43,連接ACADAE,得到4個三角形,每個三角形都有10個點,就是4×1040個點,因為每兩個三角形有4個點重合,所以,3個正六邊形的點數總共有:4×103×428個,即284×7

同理得:4個六五邊形的點數總共有:5×945個;

n個正六邊形的點數總共有:(n+1)(2n+1)個;

故答案為:(n+1)(2n+1)

問題解決:

n個正三角形的點數總共有:(n+1)(n+1)個;

n個正四邊形的點數總共有:(n+1)(n+1)個;

n個正五邊形的點數總共有:(n+1)(n+1)個;

n個正六邊形的點數總共有:(n+1)(2n+1)個;

n個正m邊形的點數總共有:個;

故答案為:

實際應用:

由規律得:n99時,

解得:m10

練習冊系列答案
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【題目】如圖,已知在平行四邊形ABCD中,AB10BC16cosB,點P是邊BC上的動點,以CP為半徑的圓C與邊AD交于點EF(點F在點E的右側),射線CE與射線BA交于點G

1)當圓C經過點A時,求CP的長

2)聯結AP,當AP//CG時,求弦EF的長

3)當△AGE是等腰三角形時,求圓C的半徑長.

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【題目】如圖,在ABC中,tanBACtanABC=1,⊙O經過AB兩點,分別交ACBCDE兩點,若DE=10AB=24,則⊙O的半徑為(

A.B.

C.13D.

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表一

天數

1

2

3

……

……

20

售價(元/千克)

37.5

37

36.5

……

……

28

表二

天數

21

22

……

……

30

售價(元/千克)

28

28

……

……

28

1)求函數解析式;

2)求銷售大櫻桃第幾天時,當天的利潤最大?最大利潤是多少?

3)銷售大櫻桃的30天中,當天利潤不低于元的共有多少天?

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1)填空:PC   ,FC   ;(用含x的代數式表示)

2)求△PEF面積的最小值;

3)在運動過程中,PEPF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請說明理由.

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A.B.C.D.

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【題目】甲、乙兩名同學分別進行6次射擊訓練,訓練成績(單位:環)如下表

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六交

9

8

6

7

8

10

8

7

9

7

8

8

對他們的訓練成績作如下分析,其中說法正確的是(  )

A. 他們訓練成績的平均數相同 B. 他們訓練成績的中位數不同

C. 他們訓練成績的眾數不同 D. 他們訓練成績的方差不同

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A.B.C.D.

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