Question

如圖，點P（﹣1，1）在雙曲線上，過點P的直線l1與坐標軸分別交于A、B兩點，且tan∠BAO=1．點M是該雙曲線在第四象限上的一點，過點M的直線l2與雙曲線只有一個公共點，并與坐標軸分別交于點C、點D．則四邊形ABCD的面積最小值為（　　）

A．

10

B．

8

C．

6

D．

不確定

Answer 1

B解：設反比例函數的解析式為y=，

∵點P（﹣1，1）在反比例函數y=的圖象上，

∴k=xy=﹣1．

∴反比例函數的解析式為y=﹣．

設直線l1的解析式為y=mx+n，

當x=0時，y=n，則點B的坐標為（0，n），OB=n．

當y=0時，x=﹣，則點A的坐標為（﹣，0），OA=．

∵tan∠BAO=1，∠AOB=90°，

∴OB=OA．

∴n=

∴m=1．

∵點P（﹣1，1）在一次函數y=mx+n的圖象上，

∴﹣m+n=1．

∴n=2．

∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（0，2）．

∵點M在第四象限，且在反比例函數y=﹣的圖象上，

∴可設點M的坐標為（a，﹣），其中a＞0．

設直線l2的解析式為y=bx+c，

則ab+c=﹣．

∴c=﹣﹣ab．

∴y=bx﹣﹣ab．

∵直線y=bx﹣﹣ab與雙曲線y=﹣只有一個交點，

∴方程bx﹣﹣ab=﹣即bx2﹣（+ab）x+1=0有兩個相等的實根．

∴[﹣（+ab）]2﹣4b=（+ab）2﹣4b=（﹣ab）2=0．

∴=ab．

∴b=，c=﹣．

∴直線l2的解析式為y=x﹣．

∴當x=0時，y=﹣，則點D的坐標為（0，﹣）；

當y=0時，x=2a，則點C的坐標為（2a，0）．

∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（﹣）=2+．

∵AC⊥BD，

∴S四邊形ABCD=AC•BD

=（2a+2）（2+）

=4+2（a+）

=4+2[（﹣）2+2]

=8+2（﹣）2．

∵2（﹣）2≥0，

∴S四邊形ABCD≥8．

∴當且僅當﹣=0即a=1時，S四邊形ABCD取到最小值8．