Question

如圖，拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）、B（2，2），連接OB、AB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求出拋物線的解析式；
（2）過B作BC⊥x軸于C，根據A、B的坐標易求得OC=BC=AC=2，由此可證得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可證得△OAB是等腰直角三角形．
解答：（1）解：由題意得 ，
解得 ；
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+2x；

（2）證明：過點B作BC⊥x軸于點C，則OC=BC=AC=2；
∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；
∴∠OBA=90°，OB=AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；
點評：此題主要考查了利用待定系數法求二次函數解析式、兩點間的距離公式、勾股定理的逆定理．解題時，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段OB、AB間的關系．