Question

23、某工廠現有20臺機器，每臺機器平均每天生產160件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發現，由于某種原因，每增加一臺機器，每臺機器平均每天將少生產4件產品．
（1）如果增加x臺機器，每天的生產總量為y件，請你寫出y與x之間的關系式及自變量的取值范圍；
（2）增加多少臺機器，可以使每天的生產總量最大，最大生產總量是多少？
（3）要使生產總量增加300件，則機器增加的臺數應該是多少臺？

Answer 1

分析：（1）根據題意增加x臺機器，每臺每天將少生產4x件產品，生產量為（160-4x）件，此時機器數為（20+x）臺，每天生產總量可求出；根據題意要提高生產總量，所以y＞160×20=3200，結合函數圖象可求出x的取值范圍；
（2）根據函數性質和頂點坐標公式求最值；
（3）生產總量增加300件，即y=3200+300=3500，解方程求解．

解答：解：（1）y=（20+x）（160-4x）=-4x²+80x+3200，
當y=0時，x₁=0，x₂=20．
又因為-4＜0，
所以圖象開口向下，y＞3200時，0＜x＜20．
（2）y=-4x²+80x+3200=-4（x-10）2+3600，
因為-4＜0，
所以當x=10時，y_最大=3600．
即增加10臺機器，可以使每天的生產總量最大，最大生產總量是3600件．
（3）生產總量增加300件，
即y=3200+300=3500，
解方程-4x²+80x+3200=3500，得x₁=5，x₂=15，
所以要使生產總量增加300件，則機器增加的臺數應該是5臺或15臺．

點評：此題求自變量的取值范圍較難點，運用二次函數的性質結合圖象、解方程解決二次不等式的問題，滲透了數形結合、方程與函數的解題思想和方法．