Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°．AB=2，CD=3，AD=7．在腰AD上是否存在點P．使△ABP與△DCP相似？如果存在，試求出AP的長；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°，可得∠DAB=∠ADC=90°，然后分別從若，則△ABP∽△DCP與若，則△ABP∽△DPC去分析求解即可求得答案，小心別漏解．
解答：解：∵在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
若，則△ABP∽△DCP，
∵AB=2，CD=3，
∴PA：PD=2：3，
∵AD=7，
∴AP=AD=；
若，則△ABP∽△DPC，
∵AB=2，CD=3，
∴PA•PD=6，
∵AD=PA+PD=7，
設PA=x，則PD=7-x，
∴x（7-x）=6，
即x²-7x+6=0，
解得：x₁=1，x₂=6，
即PA=1或6；
∴AP的長為：或1或6．
點評：此題考查了相似三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想、方程思想與分類討論思想的應用．