Question

如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且點A（1，－4）為拋物線的頂點，點B在x軸上。

（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標。

Answer 1

解：（1）把A（1，－4）代入，得k=2，∴。
令y=0，解得：x=3，∴B的坐標是（3，0）。
∵A為頂點，∴設拋物線的解析為。
把B（3，0）代入得：4a－4=0，解得a=1。
∴拋物線的解析式為即。
（2）存在。
∵OB=OC=3，OP=OP，∴當∠POB=∠POC時，△POB≌△POC。
此時PO平分第二象限，即PO的解析式為y=－x。
設P（m，－m），則，解得（，舍去）。
∴P（。
（3）①如圖，當∠Q₁AB=90°時，△DAQ₁∽△DOB，

∴，即。∴。
∴，即。
②如圖，當∠Q₂BA=90°時，△BOQ₂∽△DOB，
∴，即。
∴，即。
③如圖，當∠AQ₃B=90°時，作AE⊥y軸于E，則△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴，即。
∴，解得OQ₃=1或3，即Q₃（0，－1），Q₄（0，－3）。
綜上，Q點坐標為或或（0，－1）或（0，－3）。

試題分析：（1）已知點A坐標可確定直線AB的解析式，進一步能求出點B的坐標．點A是拋物線的頂點，那么可以將拋物線的解析式設為頂點式，再代入點B的坐標，依據待定系數法可解。
（2）首先由拋物線的解析式求出點C的坐標，在△POB和△POC中，已知的條件是公共邊OP，若OB與OC不相等，那么這兩個三角形不能構成全等三角形；若OB等于OC，那么還要滿足的條件為：∠POC=∠POB，各自去掉一個直角后容易發現，點P正好在第二象限的角平分線上，聯立直線y=-x與拋物線的解析式，直接求交點坐標即可，同時還要注意點P在第二象限的限定條件。
（3）分別以A、B、Q為直角頂點，分類進行討論，找出相關的相似三角形，依據對應線段成比例進行求解即可。