Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于點(diǎn)A、B（A在左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合）．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)D，使|DC-DB|的值最大，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q，連接QM，當(dāng)四邊形PQMN滿足有一組對(duì)邊相等時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，y=0，求出x即可；
（2）利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可以得出D點(diǎn)坐標(biāo)的位置，利用D點(diǎn)在直線AC解析式上，即可求出；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)以及等腰梯形性質(zhì)分別求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于點(diǎn)A、B（A在左側(cè)），
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：0=-x²+3x+4，
解得：x₁=-1，x₂=4，
A（-1，0）、B（4，0）；

（2）連接AC并延長(zhǎng)交拋物線的對(duì)稱軸于D，
將A（-1，0），C（0，4）點(diǎn)的坐標(biāo)代入：Y=kx+b，

b=4 -k+b=0

解得：b=4，k=4，
求出直線AC解析式：y=4x+4，
將x=1.5，代入y=4x+4得，
y=10，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（1.5，10）

（3）設(shè)P（x，-x+4），Q（x，-x²+3x+4），
①四邊形PQMN是平行四邊形，此時(shí)PQ=MN，
由題意得，

25

4

-

5

2

=（-x²+3x+4）-（-x+4）
解得：x=2.5，x=1.5（舍去）
此時(shí)P（2.5，1.5），
②四邊形PQMN是等腰梯形，此時(shí)PN=QM進(jìn)一步得MG=NH（QG、PH是所添的垂線段），
從而得方

25

4

+x²-3x-4=-x+4-

5

2

，
解得x=0.5，x=1.5（舍去），
此時(shí)P（0.5，3.5），
綜合上述兩種情況可知：當(dāng)四邊形PQMN滿足有一組對(duì)邊相等時(shí)，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2.5，1.5）或（0.5，3.5）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形與梯形的性質(zhì)等知識(shí)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的難點(diǎn)問題，同學(xué)們?cè)诮獯鸬倪^程中特別注意解題的技巧性從而降低計(jì)算量．