Question

（2012•咸寧）如圖，AB是⊙O的直徑，點E是AB上的一點，CD是過E點的弦，過點B的切線交AC的延長線于點F，BF∥CD，連接BC．
（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的長；
（2）連接BD，如果四邊形BDCF為平行四邊形，則點E位于AB的什么位置？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由BF與⊙O相切，根據切線的性質，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂徑定理即可求得CE=DE，然后連接CO，設OE=x，則BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的長，繼而求得CD的長；
（2）由四邊形BDCF為平行四邊形，根據平行四邊形的性質，即可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得點E是AB的中點．

解答：（1）解：∵BF與⊙O相切，
∴BF⊥AB．（1分）
而BF∥CD，
∴CD⊥AB．
又∵AB是直徑，
∴CE=ED．（2分）
連接CO，設OE=x，則BE=9-x．
由勾股定理可知：CO²-OE²=BC²-BE²=CE²，
即9²-x²=6²-（9-x）²，
解得：x=7．（4分）
∴CD=2

CO2-OE2

=2

92-72

=8

2

．（5分）

（2）∵四邊形BDCF為平行四邊形，
∴BF=CD．
而CE=DE=

1

2

CD，
∴CE=

1

2

BF．（7分）
∵BF∥CD，
∴△AEC∽△ABF．（8分）
∴

AE

AB

=

EC

BF

=

1

2

．
∴點E是AB的中點．（9分）

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、垂徑定理以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．