Question

（2002•咸寧）已知經過（-3，5），（-1，-3），（0，-4）三點的拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左邊），頂點為C．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求點A、B的坐標及直線CB的解析式；
（3）設點P（a，0）為x軸上一動點，那么以P點為圓心，2為半徑的⊙P與直線CB有哪幾種位置關系？并求出相應位置關系時a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知的拋物線上的三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）根據（1）得出的拋物線的解析式即可求出A、B的坐標，然后用待定系數法可求出直線BC的解析式．
（3）直線與圓的位置關系無非是相切、相交、相離這三種情況，本題中，只需求出圓P與直線BC相切時P點的坐標即可．然后根據此時a的值，即可判斷出圓與直線的三種位置關系中a的取值范圍．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意，
得：，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-4．

（2）由（1）的拋物線可知：當y=0時，x²-4=0，
解得x=2，x=-2
∵A點在B點的左邊
∴A（-2，0），B（2，0）．
設直線BC的解析式為y=kx-4，已知直線過B（2，0），則有：
2k-4=0，k=2
∴直線BC的解析式為y=2x-4．

（3）當a＜2-或a＞2+時，⊙P與直線BC相離；
當a=2±時，⊙P與直線BC相切；
當2-＜a＜2+時，⊙P與直線BC相交．
點評：本題主要考查二次函數和一次函數解析式的確定、直線與圓的位置關系等知識．