Question

如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點P的位置，然后根據弧的度數發現一個等腰直角三角形計算．
解答：解：作點B關于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則P點就是所求作的點．
此時PA+PB最小，且等于AC的長．
連接OA，OC，根據題意得：
∵∠AMN=30°，
∴弧AN的度數是60°，
∵B為AN弧的中點，
∴弧BN的度數是30°，
∵NO⊥BC，
∴=，
∴弧CN的度數是30°，
∴=+=90°
∴∠AOC=90°，
又∵OA=OC=1，
∴AC==．
即PA+PB的最小值為：，
故答案為：．
點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路線問題，解答此題的關鍵是找到點B的對稱點，把題目的問題轉化為兩點之間線段最短解答．