Question

聰聰用兩塊含45°角的直角三角尺△ABC、△MNK進行一次探究活動：他將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，讓MK經過C點（如圖甲），若BC=MK=4．
（1）此時兩三角尺的重疊部分（△ACM）面積為______；
（2）再將圖甲中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉45°得到圖乙，此時兩三角尺的重疊部分（四邊形MDCG）面積為______；
（3）據此猜想：在MK與BC相交的前提下，將△MNK繞點M旋轉到任一位置（如圖丙）時兩三角尺的重疊部分面積為______，請說出理由．

Answer 1

解：（1）4；

（2）4；

（3）4；
理由：根據旋轉的性質知∠NMA=∠KMC，∠A=∠MCG=45°，
∵AM是直角三角形ABC斜邊上的中線，
∴AM=CM，
則△ADM≌△CGM，
∴S_△CGM=S_△ADM，
∴S_重疊=S_△AMC=S_△ABC=4．
分析：（1）我們可以看出重疊的三角形的面積正好是三角形ABC面積的一半，直角三角形ABC中，知道了一條直角邊為4，那么另一條直角邊也為4，其面積就是8，所以△ACM的面積就是4；
（2）△MNK繞頂點M逆時針旋轉45°，那么∠AMD=45°，不難得出∠MDC=∠DCG=∠CBM=90°，因此DMGC是個矩形．MG∥AC，因為M是AB中點，那么MG就是△ABC的中位線，CG=BG=2．同理可得CD=AD=2．因此DMGC是個正方形，且邊長為2，那么它的面積就是2×2=4；
（3）如果連接CM，那么根據旋轉的性質，我們不難得出∠AMN=∠CMK，AM=CM（AM是直角三角形ABC斜邊上的中線）．∠A=∠MCB，于是構成了全等三角形判定中的ASA，于是△AMD和△CMG全等，因此兩者的面積也相等．那么四邊形CGMD的面積=△DMC的面積+△CMG的面積=△DMC的面積+△AMD的面積=△AMC的面積．而△AMC的面積是△ABC的一半，因此四邊形CGMD的面積=4．
點評：本題把旋轉的性質和全等三角形的判定結合，考查了學生綜合運用數學知識的能力．本題（3）中利用全等三角形來轉化重疊的四邊形的面積是解題的關鍵．