Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，將△ABC繞點C逆時針旋轉角α．（0°＜α＜90°）得到△，連接．設交AB于D，分別交AB、AC于E、F．

（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以說明（△ABC與△全等除外）；

（2）當△是等腰三角形時，求α；

 

Answer 1

【答案】

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；

以說明△CBD≌△CA₁F為例：

理由：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°

∴∠A₁CF=∠BCD   ∵A₁C=BC    ∴∠A₁=∠CBD=45°   ∴△CBD≌△CA₁F；

（2）在△CBB₁中    ∵CB=CB₁     ∴∠CBB₁=∠CB₁B=1/2（180°-α）

又△ABC是等腰直角三角形   ∴∠ABC=45°

①若B₁B=B₁D，則∠B₁DB=∠B₁BD

∵∠B₁DB=45°+α

∠B₁BD=∠CBB₁-45°=1/2（180°-α）-45°=45°-1/2α    

∴45°+α=45°-α

∴α=0°（舍去）；

②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；

③若BB₁=BD，則∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=1/2（180°-α），α=30°

由①②③可知，當△BB₁D為等腰三角形時，α=30°；

【解析】（1）依據全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋轉的意義可證∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．（2）當△BBD是等腰三角形時，要分別討論B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．