Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是（0，），以點C為頂點的拋物線y=ax²+bx+c恰好經過x軸上A、B兩點．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（3）若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D點，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CE⊥AB于E，根據拋物線的對稱性知AE=BE；由于四邊形ABCD是菱形，易證得△OAD≌△EBC，則OA=AE=BE，可設菱形的邊長為2m，則AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根據勾股定理即可求出m的值，由此可確定A、B、C三點的坐標；
（2）根據（1）題求得的三點坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（3）設出平移后的拋物線解析式，將D點坐標代入此函數的解析式中，即可求出平移后的函數解析式，與原二次函數解析式進行比較即可得到平移的單位．
解答：解：（1）過C作CE⊥AB于E，由拋物線的對稱性可知AE=BE，
在Rt△AOD和Rt△BEC中，
∵OD=EC，AD=BC，
∴△AOD≌△BEC，
∴OA=BE=AE，（1分）
設菱形的邊長為2m，
在Rt△AOD中，，
解得m=1；
∴DC=2，OA=1，OB=3；
∴A、B、C三點的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（2，）；（4分）

（2）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+，
代入A點坐標可得a=-，
拋物線的解析式為y=-（x-2）²+；（7分）

（3）設拋物線的解析式為y=-（x-2）²+k，
代入D（0，）可得k=5，
所以平移后的拋物線的解析式為y=-（x-2）²+5，（9分）
向上平移了5-=4個單位．（10分）
點評：此題考查了菱形的性質、全等三角形的性質、拋物線的對稱性、勾股定理以及二次函數圖象的平移，綜合性較強，難度適中．