Question

【題目】如圖，將一個正方形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，其中A（1，0），C（0，1），P為AB邊上一個動點，折疊該紙片，使O點與P點重合，折痕l與OP交于點M，與 對角線AC交于Q點

（Ⅰ）若點P的坐標為（1， ），求點M的坐標；
（Ⅱ）若點P的坐標為（1，t）
①求點M的坐標（用含t的式子表示）（直接寫出答案）
②求點Q的坐標（用含t的式子表示）（直接寫出答案）
（Ⅲ）當點P在邊AB上移動時，∠QOP的度數是否發生變化？如果你認為不發生變化，寫出它的角度的大小．并說明理由；如果你認為發生變化，也說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）過M作ME⊥x軸于點E，如圖1，

由題意可知M為OP中點，

∴E為OA中點，

∴OE= OA= ，ME= AP= ，

∴M點坐標為（ ， ）；

（Ⅱ）①同（Ⅰ），當P（1，t）時，可得M（ ， t）；

②過Q點作QD⊥OA于D，作QE⊥AB與E，連接QP．

∵Q點在AC上，

∴QD=AD=AE=QE，

在Rt△OQD和Rt△OPE中，

∴Rt△OQD≌Rt△OPE，

∴OD=PE，

設OD=PE=x，則AD=1﹣x，AE=t+x，則1﹣x=t+x，解得x= ，

QD=AE=t+x= ．

∴Q點坐標為（ ， ）．

（Ⅲ）不變化，∠QOP=45°．

理由如下：由（Ⅱ）②可知Q點坐標為（ ， ），

根據勾股定理得，

OQ2=OD2+QD2=（ ）2+（ ）2= ，

QP=OQ，

OP2=OA2+AP2=1+t2，

∴OQ2+QP2=OP2，

∴△OPQ是以OP為斜邊的等腰直角三角形，

∴∠QOP=45°，

即∠QOP不變化．

【解析】（Ⅰ）由題意可知M為OP中點，得到E為OA中點，得到M點坐標為（ ， ）；（Ⅱ）①同（Ⅰ），當P（1，t）時，可得M（ ，t）；②由題意得到QD=AD=AE=QE，Rt△OQD≌Rt△OPE，OD=PE，得到Q點坐標為（ ， ）；（Ⅲ）由（Ⅱ）②可知Q點坐標，根據勾股定理得到OQ2+QP2=OP2，所以△OPQ是以OP為斜邊的等腰直角三角形，∠QOP不變化；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．