Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）、動點M、N分別從O、B同時出發，都以每秒1個單位的速度運動、其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動、過點N作NP⊥BC，交AC于P，連結MP、已知動點運動了t秒、

（1）P點的坐標為（ ， ）（用含t的代數式表示）;
（2）試求 △MPA面積的最大值，并求此時t的值;
（3）請你探索：當t為何值時，△MPA是一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）解：6－t, t
（2）解：延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥QA．設△MPA的面積為S，

S＝ MA·PQ＝ （6—t） t＝— t2＋4t （0≤t≤6）

∴當t ＝3時，S的最大值為6

（3）解：① 若MP＝PA ∵PQ⊥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2

② 若MP＝MA 則 MQ＝6—2t PQ＝ t PM＝MA＝6—t

在Rt△PMQ 中 ∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（ t）2 ∴t ＝

③ 若PA＝AM ∵PA＝ t AM＝6—t ∴ t＝6—t ∴t＝

綜上所述， t＝2或t＝ 或t＝

【解析】解：（1）由題意可知C（0,8），又A（6,0）,

所以直線AC解析式為：y=- t+8,

因為P點的橫坐標與N點的橫坐標相同為6-x，代入直線AC中得y= t，

所以P點坐標為（6-t, t）

【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和二次函數的最值，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．