Question

綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x²+2x+3與x軸交于A．B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．
（1）求直線AC的解析式及B，D兩點的坐標；
（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線AC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A．P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）請在直線AC上找一點M，使△BDM的周長最小，求出M點的坐標．

Answer 1

解：（1）當y=0時，﹣x²+2x+3=0，
解得x₁=﹣1，x₂=3．∵點A在點B的左側，
∴A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0）．
當x=0時，y=3．
∴C點的坐標為（0，3）
設直線AC的解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），則，
解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∴y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）．
（2）拋物線上有三個這樣的點Q，
①當點Q在Q₁位置時，Q₁的縱坐標為3，
代入拋物線可得點Q1的坐標為（2，3）；
②當點Q在點Q₂位置時，點Q₂的縱坐標為-3，代入拋物線可得點Q₂坐標為（1+，﹣3）；
③當點Q在Q₃位置時，點Q₃的縱坐標為﹣3，
代入拋物線解析式可得，點Q₃的坐標為（1﹣，﹣3）；
綜上可得滿足題意的點Q有三個，
分別為：Q₁（2，3），Q₂（1+，﹣3），Q₃（1﹣，﹣3）．
（3）點B作BB'⊥AC于點F，使B'F=BF，則B'為點B關于直線AC 的對稱點．
連接B'D交直線AC與點M，
則點M為所求，過點B'作B'E⊥x軸于點E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2，
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴，由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
得OA=1，OB=3，OC=3，
∵AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB'=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B'EB，
∴，
∴，
即．
∴B'E=，BE=，
∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B'點的坐標為（﹣，）．
設直線B'D的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0）．
∴，
解得，
∴直線B'D的解析式為：y=x+，
聯立B'D與AC的直線解析式可得：，
解得，
∴M點的坐標為（，）．