Question

如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA，CB分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD，連接CF，CD，則有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三邊關(guān)系知，CF+FD＞CD；只有當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，F(xiàn)C+FD=PQ有最小值為CD的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時(shí)CD=BC•AC÷AB=4.8．
解答：解：如圖，∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴PQ是⊙F的直徑，
設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD，連接CF，CD，則FD⊥AB．
∴FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD有最小值
∴CD=BC•AC÷AB=4.8．
故答案為4.8．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關(guān)系，直角三角形的面積公式求解．