Question

如圖，已知△ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1 cm/s，點Q運動的速度是2 cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t(s)，解答下列問題：

(1)當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

(2)設△BPQ的面積為S(cm²)，求S與t的函數關系式；

(3)作QR∥BA交AC于點R，連結PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)△BPQ是等邊三角形，當t＝2時，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，所以BP＝AB－AP＝6－2＝4，所以BQ＝BP．又因為∠B＝600，所以△BPQ是等邊三角形． 　　(2)過Q作QE⊥AB，垂足為E，由QB＝2y，得QE＝2t·sin600＝t，由AP＝t，得PB＝6－t，所以S△BPQ＝×BP×QE＝(6－t)×t＝－t2＋3t； 　　(3)因為QR∥BA，所以∠QRC＝∠A＝600，∠RQC＝∠B＝600，又因為∠C＝600，所以△QRC是等邊三角形，所以QR＝RC＝QC＝6－2t．因為BE＝BQ·cos600＝×2t＝t，所以EP＝AB－AP－BE＝6－t－t＝6－2t，所以EP∥QR，EP＝QR，所以四邊形EPRQ是平行四邊形，所以PR＝EQ＝t，又因為∠PEQ＝900，所以∠APR＝∠PRQ＝900．因為△APR～△PRQ，所以∠QPR＝∠A＝600，所以tan600＝，即，所以t＝，所以當t＝時，△APR～△PRQ