Question

如圖，平面直角坐標系中有一矩形ABCD（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為（0，6）；將BCD沿BD折疊（D點在OC邊上），使C點落在OA邊的E點上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD的點F上。

（1）直接寫出∠ABE、∠CBD的度數，并求折痕BD所在直線的函數解析式；
（2）過F點作FG⊥x軸，垂足為G，FG的中點為H，若拋物線經過B、H、D三點，求拋物線的函數解析式；
（3）若點P是矩形內部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B、D點），過點P作PN⊥BC分別交BC和BD于點N、M，設h=PM-MN，試求出h與P點橫坐標x的函數解析式，并畫出該函數的簡圖，分別寫出使PM<MN、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∠ABE=∠CBD=30°；
在△ABE中，AB=6，BC=BE=，CD=BC·tan30°=4，
∴OD=OC-CD=2，
∴B（，6） D（0，2），
設BD所在直線的函數解析式是y=kx+b，
，∴，
∴ 所以BD所在直線的函數解析式是；
（2）∵EF=EA=ABtan30°=，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°，
又∵FG⊥OA，
∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=，OG=OA-AE-GE=，
又H為FG中點
∴H（，），
∵B（4，6）、D（0，2）、H（，）在拋物線圖象上，
∴，∴，
∴拋物線的解析式是；
（3）∵MP=，
MN=6-，
h=MP-MN=，
由得，
該函數簡圖“略”
當0<x<，h<0，即HP>MN ，
當x=時，h=0，即HP=MN，
當<x<時，h>0，即HP>MN。