Question

【題目】已知:在△ABC中, ∠B=60°,D、E分別為AB、BC上的點,且AE、CD交于點F.

(1)如圖1,若AE、CD為△ABC的角平分線. ①求證: ∠AFC=120°;②若AD=6，CE=4，求AC的長?

(2)如圖2,若∠FAC=∠FCA=30°，求證:AD=CE.

Answer 1

【答案】(1)①見解析;②AC=10;(2)見解析

【解析】

（1）①根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算；

②在AC上截取AG=AD=6，連接FG，證明△ADF≌△AGF、△CGF≌△CEF，根據全等三角形的性質解答；

（2）在AE上截取FH=FD，連接CH，證明△ADF≌△CHF，根據全等三角形的性質、三角形的外角的性質解答．

（1）①∵AE、CD分別為△ABC的角平分線，

∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，

∵∠B=60°

∴∠BAC+∠BCA=120°，

∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=180°- (∠BAC+∠BCA)=120°；

②在AC上截取AG=AD=6，連接FG，

∵AE、CD分別為△ABC的角平分線，

∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，

∵∠AFC=120°，

∴∠AFD=∠CFE=60°，

在△ADF和△AGF中，

∵

∴△ADF≌△AGF（SAS），

∴∠AFD=∠AFG=60°，

∴∠GFC=∠CFE=60°，

在△CGF和△CEF中，

∵

∴△CGF≌△CEF（ASA），

∴CG=CE=4，

∴AC=10；

（2）在AE上截取FH=FD，連接CH，

∵∠FAC=∠FCA=30°，

∴FA=FC，

在△ADF和△CHF中，

∵，

∴△ADF≌△CHF（SAS），

∴AD=CH，∠DAF=∠HCF，

∵∠CEH=∠B+∠DAF=60°+∠DAF，

∠CHE=∠HAC+∠HCA=60°+∠HCF，

∴∠CEH=∠CHE，

∴CH=CE，

∴AD=CE．