Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+mx+n交x軸于點A（﹣2，0）和點B，交y軸于點C（0，2）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點M在拋物線上，且S△AOM=2S△BOC，求點M的坐標；

（3）如圖2，設點N是線段AC上的一動點，作DN⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DN長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2； （2）（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）；（3）1.

【解析】（1）把點A、C的坐標分別代入函數解析式，列出關于系數的方程組，通過解方程組求得系數的值；

（2）設M點坐標為（m，n），根據S△AOM=2S△BOC列出關于m的方程，解方程求出m的值，進而得到點P的坐標；

（3）先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+2，再設N點坐標為（x，x+2），則D點坐標為（x，-x2-x+2），然后用含x的代數式表示ND，根據二次函數的性質即可求出線段ND長度的最大值．

解：（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入拋物線的解析式y=﹣x2+mx+n，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2．

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2，則易得B（1，0），設M（m，n）然后依據S△AOM=2S△BOC列方程可得：

AO×|n|=2××OB×OC，

∴×2×|﹣m2﹣m+2|=2，

∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，

解得m=0或﹣1或，

∴符合條件的點M的坐標為：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（﹣2，0），C（0，2）代入

得到，解得，

∴直線AC的解析式為y=x+2，

設N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），則D（x，﹣x2﹣x+2），

ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，

∵﹣1＜0，

∴x=﹣1時，ND有最大值1．

∴ND的最大值為1．