Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得點P在射線BC上，且∠APB∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），則稱P為⊙C的依附點．

（1）當⊙O的半徑為1時，

①已知點D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在點D、E、F中，⊙O的依附點是　 ；

②點T在直線y＝﹣x上，若T為⊙O的依附點，求點T的橫坐標t的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于點M、N，若線段MN上的所有點都是⊙C的依附點，直接寫出圓心C的橫坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①E、F；②t或t．（2）4＜m＜4或﹣4＜m＜2﹣2．

【解析】

（1）①如圖1中，根據P為⊙C的依附點，可知：當r＜OP≤3r（r為⊙C的半徑）時，點P為⊙C的依附點，由此即可判斷．

②分兩種情形：點T在第二象限或點T在第四象限分別求解即可．

（2）分兩種情形：點C在點M的右側，點C在點M的左側分別求解即可解決問題．

解：（1）①如圖1中，根據P為⊙C的依附點，可知：當r＜OP＜3r（r為⊙C的半徑）時，點P為⊙C的依附點．

∵D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），

∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，

∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，

∴點E，F是⊙C的依附點，

故答案為：E、F；

②如圖2中，

當點T在第四象限，OT′＝1時，作T′N⊥x軸于N，易知N（，0），OT＝3時，作TM⊥x軸于M，易知M（，0），

∴滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍：t．

當點T在第二象限時，同法可得滿足條件的t的取值范圍為t，

綜上所述，滿足條件的t的值的范圍為：t或t．

（2）如圖3﹣1中，當點C在點M的右側時，

由題意M（2，0），N（0，2）

當CN＝6時，OC4，此時C（4，0），

當CM＝2時，此時C（4，0），

∴滿足條件的m的值的范圍為4＜m＜4．

如圖3﹣2中，當點C在點M的右側時，

當⊙C與直線MN相切時，易知C′（2﹣2，0），

當CM＝6時，C（﹣4，0），

∴滿足條件的m的值的范圍為﹣4＜m＜2﹣2，

綜上所述，滿足條件的m的值的范圍為：4＜m＜4或﹣4＜m＜2﹣2．