Question

25、在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是對角線．
（1）如圖1，點E、F分別在邊BC、CD上，且BE=CF．
①求證：△ABE≌△ACF；
②求證：△AEF是等邊三角形．
（2）若點E在BC的延長線上，在直線CD上是否存在點F，使△AEF是等邊三角形？請證明你的結論（圖2備用）．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質得到AB=BC，∠ACB=∠ACF，根據SAS判定：△ABE≌△ACF；
（2）由全等得到AE=AF，∠BAE=∠CAF，因為∠BAE+∠CAE=60°，所以∠CAF+∠CAE=60°，即△AEF是等邊三角形．

解答：解：證明：（1）
①∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ACB=∠ACF（2分）
又∵∠B=60°
∴△ABC是等邊三角形（1分）
∴AB=AC，∠ACB=60°
∴∠B=∠ACF（1分）
∵BE=CF
∴△ABE≌△ACF；（1分）

②由△ABE≌△ACF
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（2分）
∵∠BAE+∠CAE=60°
∴∠CAF+∠CAE=60°，即∠EAF=60°
∴△AEF是等邊三角形．（2分）

（2）存在（1分）
證明：在CD延長線上取點F，使CF=BE
與（1）①同理可證△ABE≌△ACF（2分）
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（1分）
∴∠CAF-∠CAE=∠BAE-∠CAE
∴∠EAF=∠BAC=60°
∴△AEF是等邊三角形．（1分）
注：若在CD延長線上取點F，使CE=DF亦可．

點評：此題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定，全等三角形的判定方法等知識點，做題時要求學生對其靈活運用．