Question

已知二次函數y=x²+ax+a-2．
（1）求證：不論a為何實數，此函數的圖象與x軸總有兩個交點；
（2）當兩個交點間的距離為時，求a的值；
（3）在（2）的條件下求出函數的最大值或最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令函數值y=0，可得出一個關于x的一元二次方程，證△＞0即可．
（2）可設出兩個交點的橫坐標，然后根據韋達定理表示出兩交點的距離，即可求出a的值．
（3）可根據（2）得出的a的值，求出拋物線的解析式，用配方法或公式法即可求出函數的最大或最小值（本題拋物線開口向上，因此只有最小值）．
解答：解：（1）令y=0，
則有x²+ax+a-2=0①，
△=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
因此不論a的值為多少，拋物線總與x軸有兩個不同的交點．

（2）設兩交點的坐標為（x₁，0）（x₂，0）（x₁＜x₂）；
根據方程①可得
x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2
x₂-x₁===
∴a²-4a+8=29，即a²-4a-21=0
∴a=-3或a=7．

（3）當a=-3時，y=x²-3x-5=（x-）²-
∴函數的最小值為-
當a=7時，y=x²+7x+5=（x+）²-
∴函數的最小值為-
∴函數的最小值為-．
點評：本題考查了二次函數與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數的關系等知識．