Question

探究一：如圖，正△ABC中，E為AB邊上任一點，△CDE為正三角形，連接AD，猜想AD與BC的位置關系，并說明理由．
探究二：如圖，若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，E為AB上任一點，△CDE為等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，連接AD，猜想AD與BC的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：猜想AD與BC的位置關系為AD∥BC，欲證AD∥BC，可以根據正三角形，等腰三角形的性質，證明△ACD∽△BCE，再證明AD與BC的內錯角相等，得出結論．
解答：解：（1）AD與BC的位置關系為AD∥BC；
∵△ABC和△DEC是正三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=60°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．

（2）AD與BC的位置關系為AD∥BC；
∵△ABC和△DEC是等腰三角形
DE=DC，且∠BAC=∠EDC，
∴∠ACB=∠DCE．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．
點評：觀察測量，然后進行推理證明，是數學知識發現的基本規律．本題考查了正三角形，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，平行線的判定．注意證明方式相同．