Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm／s的速度沿折線ABCD方向運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以2cm／s的速度沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動．已知P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s）．

(1)、求CD的長．

(2)、當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長．

(3)、當(dāng)點(diǎn)P在折線BCD上運(yùn)動時(shí)，是否存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為16cm2？若存在，請求出滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)16cm；(2)（8＋8）cm；(3)或6或

【解析】

試題分析：(1)過點(diǎn)A作AM∥BC交DC于M，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出MC＝AB＝10cm，AM＝BC＝8cm；根據(jù)Rt△ADM的勾股定理求出DM的長度，然后得出答案；(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，PB∥DQ且PB＝DQ，根據(jù)題意得出PB＝（10－3t）cm，DQ＝2tcm，從而求出t的值，然后得出四邊形的周長；(3)分三種情況進(jìn)行求解，①若點(diǎn)P在線段BC上，則＜t≤6；②若點(diǎn)P在線段CD上，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，則6≤t＜；③若點(diǎn)P在線段CD上，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，則＜t≤8，根據(jù)三角形的面積列出方程，求出t的值.

試題解析：(1)過點(diǎn)A作AM∥BC交DC于M（如圖）

∵AB∥CD，∴四邊形ABCM是平行四邊形． ∴MC＝AB＝10cm，AM＝BC＝8cm．

∵∠BCD＝90°，∴∠AMD＝90°． ∵AD＝10cm，∴DM＝＝＝6（cm）．

∴CD＝DM＋MC＝10cm＋6cm＝16cm．

(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，PB∥DQ且PB＝DQ． ∵點(diǎn)Q在DC上，∴點(diǎn)P在AB上（如圖）．

∴0＜t＜．

由題意得PB＝（10－3t）cm，DQ＝2t（cm），∴10－3t＝2t．解得t＝2（符合題意）．

此時(shí)DQ＝4 cm，∴QC＝12 cm．∴BQ＝＝＝4（cm）．

∴四邊形PBQD的周長＝2（BQ＋DQ）＝（8＋8）cm．

(3)分以下三種情況討論：

①若點(diǎn)P在線段BC上（如圖），則＜t≤6．

此時(shí)BP＝3t－10，CQ＝16－2t， 由S△BPQ＝BPCQ＝（3t－10）（16－2t）＝16，得3t2－34t＋96＝0．

∵△＝（－34）2－4×3×96＝4，∴t＝＝．∴t＝6或（符合題意）．

②若點(diǎn)P在線段CD上，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)（如圖），則6≤t＜．

此時(shí)QP＝34－5t． 由S△BPQ＝QPBC＝（34－5t）×8＝16，解得t＝6（符合題意）．

③若點(diǎn)P在線段CD上，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)（如圖），則＜t≤8．

此時(shí)PQ＝5t－34． 由S△BPQ＝PQBC＝（5t－34）×8＝16，解得t＝（符合題意）．

綜上，存在符合題意的時(shí)刻，即t的值為，或6，或．