Question

在直角坐標系中，已知點P是反比例函數（x＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的動⊙P始終與y軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，動⊙P與x軸相切，設與x軸的切點為K，求此時⊙P的面積．
（2）如圖2，動⊙P與x軸相交，設交點為B、C．當四邊形ABCP是菱形時，求此時⊙P的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質以及正方形的判定和矩形的判定得出四邊形OKPA是正方形，進而得出答案；
（2）首先得出△PBC是等邊三角形，進而利用銳角三角函數關系得出PB=PA的長，即可得出⊙P的面積．
解答：解：（1）∵⊙P分別與兩坐標軸相切
∴PA⊥OA，PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°
∴四邊形OKPA是矩形，而PA=PK
∴四邊形OKPA是正方形．
∴PA=PK=r，
∴r²=2，
∴⊙P的面積=r²π=2π；

（2）連接PB，設點P的橫坐標為x，
則其縱坐標為．
過點P作PG⊥BC于G，
∵四邊形ABCP為菱形
∴BC=PC=PA=AB，而 PA=PB=PC，
∴△PBC是等邊三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．
sin60°=，
即
解得：x=±2（負值舍去）
∴PA=BC=r=2，
∴⊙P的面積=4π．
點評：此題主要考查了反比例函數綜合、菱形的性質以及矩形的判定和正方形的判定與性質和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出△PBC是等邊三角形是解題關鍵．