Question

如圖1，我們將相同的兩塊含30°角的直角三角板Rt△DEF與Rt△ABC疊合，使DE在AB上，DE過點C，已知AC=DE=6．
（1）將圖1中的△DEF繞點D逆時針旋轉（DF與AB不重合），使邊DF、DE分別交AC、BC于點P、Q，如圖2．
①求證：△CQD∽△APD；
②連接PQ，設AP=x，求面積S_△PCQ關于x的函數關系式；
（2）將圖1中的△DEF向左平移（點A、D不重合），使邊FD、FE分別交AC、BC于點M、N設AM=t，如圖3．
①判斷△BEN是什么三角形？并用含t的代數式表示邊BE和BN；
②連接MN，求面積S_△MCN關于t的函數關系式；
（3）在旋轉△DEF的過程中，試探求AC上是否存在點P，使得S_△PCQ等于平移所得S_△MCN的最大值？說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①易得∠BCD=∠A=60°，∠ADP=∠CDE，那么可得△CQD∽△APD②利用相似可得CQ=x，那么PC=6-x．可表示出S_△PCQ
（2）①由外角∠FEN=60°，∠B=30°，可得∠BNE=30°，∴NE=BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD=t，AB=12，那么BE=12-AD-DE=6-t．過E作EG⊥BN于點G．利用30°的三角函數可求得BG，進而求得BN
②容易利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面積
（3）利用二次函數的最值表示出S_△MCN的最大值，讓前面所求的面積的代數式等于即可．
解答：解：（1）①證明：∵∠F=∠B=30°，∠ACB=∠BDF=90°∴∠BCD=∠A=60°，∵∠ADP+∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°∴△CQD∽△APD
②∵在Rt△ADC中，AD=3，DC=3
又∵△CQD∽△APD，CQ=x．
∴S_△PCQ=-x²+3x

（2）①△BEN是等腰三角形．BE=6-t，BN=（6-t）．
②S_△MCN=（6-t）×t=-[（t-3）²-9]

（3）存在．
由題意建立方程-x²+3x=
解得X=或
即當AP=或AP=時，S_△PCQ等于S_△MCN的最大值．
點評：用到的知識點為：兩角對應相等，兩三角形相似；相似三角形的對應邊成比例．