Question

【題目】如圖，在中，對角線，交于點，為的中點，點在的延長線上，且．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）當線段和之間滿足什么條件時，四邊形是矩形？并說明理由；

（3）當線段和之間滿足什么條件時，四邊形是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，推薦可提出四邊形OBFE是平行四邊形．
（2）當AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形．只要證明∠EOB=90°即可解決問題；

（3）當AD⊥BD，AD=BD時，四邊形OBFE是正方形．根據中位線性質再證OB=OE即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點O是AC的中點．
又∵點E是邊AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥BC，
又∵點F在CB的延長線上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四邊形OBFE是平行四邊形．

（2）當AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四邊形OBFE是平行四邊形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點F在BC的延長線上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF=90°，
∴四邊形OBFE是矩形．

（3）結論：當AD⊥BD，AD=BD時，四邊形OBFE是正方形．

理由：∵OE為△ABD的中位線，
∴OE=AD
∵O為BD中點，
∴OB=BD，
∵AD=BD，
∴OB=OE，
∵當AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形，
∴當AD⊥BD，AD=BD時，四邊形OBFE是正方形．