Question

（2011•潼南縣）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點，拋物線的頂點為D．
（1）求b，c的值；
（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下：
①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；
②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函數y=x²+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（4，5），
∴，
解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如圖：∵直線AB經過點A（﹣1，0），B（4，5），
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵二次函數y=x²﹣2x﹣3，
∴設點E（t，t+1），則F（t，t²﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）²+，
∴當t=時，EF的最大值為，
∴點E的坐標為（，）；
（3）①如圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD．
可求出點F的坐標（，），點D的坐標為（1，﹣4）
S_{四邊形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；
②如圖：
ⅰ）過點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m²﹣2m﹣3）
則有：m²﹣2m﹣2=，
解得：m₁=，m₂=，
∴P₁（，），P₂（，），
ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于P₃，設P₃（n，n²﹣2n﹣3）
則有：n²﹣2n﹣2=﹣，
解得：n₁=，n₂=（與點F重合，舍去），
∴P₃（，），
綜上所述：所有點P的坐標：P₁（，），P₂（，），P₃（，）能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．
解析:
：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系數法即可求得b，c的值；
（2）由直線AB經過點A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直線AB的解析式，又由二次函數y=x²﹣2x﹣3，設點E（t，t+1），則可得點F的坐標，則可求得EF的最大值，求得點E的坐標；
（3）①順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD，可求出點F的坐標（，），點D的坐標為（1，﹣4）由S_{四邊形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF即可求得；
②過點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m²﹣2m﹣3），可得m²﹣2m﹣2=，即可求得點P的坐標，又由過點F作b⊥EF交拋物線于P₃，設P₃（n，n²﹣2n﹣3），可得n²﹣2n﹣2=﹣，求得點P的坐標，則可得使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形的P的坐標．