Question

如圖所示，有三個邊長為1的小正方形拼成的一個矩形ABCD，∠AEB=

 

，AE=

 

．請你猜想∠AEB，∠AFE，∠ACF有什么關系，并說明理由．

Answer 1

分析：猜想：∠AFE+∠ACF=∠AEB．在Rt△ABE中，利用勾股定理可求AE，同理可求AC，進而可求AE：CE與EF：AE，可得

AE

CE

=

EF

AE

，而∠AEF=∠CEA，易證△AEF∽△CEA，于是∠EAC=∠EFA，再利用三角形外角的性質可得∠AEB=∠EAC+∠ACE，等量代換有∠AEB=∠EFA+∠ACE，即∠AFE+∠ACF=∠AEB．

解答：解：∠AFE+∠ACF=∠AEB．
在Rt△ABE中，AE=

12+12

=

2

，∠AEB=45°，
在Rt△ABC中，AC=

12+32

=

10

，
∴AE：CE=

2

：2，
EF：AE=1：

2

=

2

：2，
∴

AE

CE

=

EF

AE

，
又∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠EAC=∠EFA，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE，
∴∠AEB=∠EFA+∠ACE．
即∠AFE+∠ACF=∠AEB．
故答案是45°，

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、三角形外角的性質．解題的關鍵是證明△AEF∽△CEA．