Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C在⊙O上，連接BC，CA=CD，BC=BD=6．
（1）求證：△ACD∽△CBD；
（2）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過等腰三角形的性質證得△ACD和△CBD中的對應角∠A=∠BCD，再加上公共角∠D，即可證得結論；
（2）直線CD與⊙O相切．只需證得OC⊥CD即可．
解答：（1）證明：∵CA=CD，
∴∠A=∠D（等邊對等角）．
∵BC=BD=6，
∴∠D=∠BCD（等邊對等角），
∴∠A=∠BCD．
又∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD；

（2）直線CD與⊙O相切．理由如下：
連接OC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠ACO⊥∠BCO=90°．
∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠A=∠OCA（等邊對等角）．
又∵∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠ACO（等量代換），
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O的半徑，
∴直線CD與⊙O相切．
點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理以及相似三角形的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．