Question

（2008•湖州）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），過F點的反比例函數（k＞0）的圖象與AC邊交于點E．
（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等；
（2）記S=S_△OEF-S_△ECF，求當k為何值時，S有最大值，最大值為多少？
（3）請探索：是否存在這樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別用點E，F的坐標表示出△AOE與△FOB的面積，進行比較；
（2）應分別用矩形面積和能用圖中的點表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數求出最值即可；
（3）點F的橫坐標已有，與點B的橫坐標相同，利用折疊以及相似求得點F的縱坐標．
解答：（1）證明：設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，
由題意得y₁=，y₂=，
∴S₁=x₁y₁=k，S₂=x₂y₂=k，
∴S₁=S₂，
即△AOE與△FOB的面積相等；

（2）解：由題意知E，F兩點坐標分別為E（，3），F（4，），
∴S_△ECF=EC•CF=（4-k）（3-k），
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF
=12-k-k-S_△ECF
=12-k-S_△ECF
∴S=S_△OEF-S_△ECF=12-k-2S_△ECF=12-k-2×（4-k）（3-k）．
∴S=-k²+k，即S=-（k-6）²+3，
當k=6時，S有最大值．
S_最大值=3；

（3）解：設存在這樣的點F，將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB邊上的M點，
過點E作EN⊥OB，垂足為N．
由題意得：EN=AO=3，EM=EC=4-k，MF=CF=3-k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴，
∴，
∴MB=．
∵MB²+BF²=MF²，
∴，解得k=．
∴BF=．
∴存在符合條件的點F，它的坐標為（4，）．
點評：此題綜合性比較強，把反比例函數的圖象和性質，圖形的面積計算，二次函數最值的計算放在矩形的背景中，綜合利用這些知識解決問題．在求坐標系內一般三角形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．