Question

如圖，平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，點P從O沿OB邊向點B移動，點Q從點B沿BC邊向點C移動，P，Q同時出發，速度都是1cm/s．
（1）求經過O，B，D三點的拋物線的解析式；
（2）判斷P，Q移動幾秒時，△PBQ為等腰三角形；
（3）若允許P點越過B點在BC上運動，Q點越過C點在CD上運動，設線PQ與OB，BC，DC圍成的圖形面積為y（cm²），點P，Q的移動時間為t（s），請寫出y與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過點D作DM⊥OB于M，
∵平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，
∴OD=BC=6cm，
∴OM=DM=OD•sin45°=6×=3，
∴D（3，3），B（8，0），
設經過O，B，D三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-8），
將D的坐標代入得：3=3a•（3-8），
解得：a=-，
∴y=-x（x-8）；

（2）∵∠PBQ=180°-∠DOB=135°，
∴若△PBQ為等腰三角形，則PB=BQ．
設P，Q移動t秒時，△PBQ為等腰三角形，
∴P點走過的路程為t，Q點走過的路程為t，
∴PB=OB-t=8-t（cm），BQ=tcm．
若PB=BQ，
則8-t=t，
解得：t=4（s）．
∴P，Q移動4秒時，△PBQ為等腰三角形；

（3）如圖：過點D作DM⊥OB于M，過點P作PN⊥OB于N，交CD于H，
∵四邊形OBCD是平行四邊形，
∴CD=OB=8cm，BC=OD=6cm，CD∥OB，HN=DM=3cm，
∴PH⊥CD，△CPH∽△BPN，
∴，
由題意得：PC=14-t（cm），PB=t-8（cm），CQ=t-6（cm），
∴，
解得：PH=（14-t），
∴y=S_?OBCD-S_△CPQ=8×3-（t-6）×（14-t）=t²-5t+45，
∵P點越過B點在BC上運動，Q點越過C點在CD上運動，
∴8＜t≤14，
∴y與t之間的函數關系式為y=t²-5t+45，t的取值范圍為8＜t≤14．
分析：（1）首先過點D作DM⊥OB于M，由平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，即可求得點D的坐標，然后設經過O，B，D三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-8），利用待定系數法即可求得經過O，B，D三點的拋物線的解析式；
（2）由平行四邊形的性質可得∠PBQ=180°-∠DOB=135°，所以若△PBQ為等腰三角形，則PB=BQ．然后設P，Q移動t秒時，△PBQ為等腰三角形，即可方程：8-t=t，解此方程即可求得答案；
（3）首先根據題意作出圖形，然后利用相似三角形的對應邊成比例，求得PH的長，又由y=S_?OBCD-S_△CPQ，即可求得y與t之間的函數關系式，由P點越過B點在BC上運動，Q點越過C點在CD上運動，即可求得t的取值范圍．
點評：此題考查了平行四邊形的性質，待定系數法求二次函數的解析式，等腰三角形的判定與性質以及多邊形面積的求解方法等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．