Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，B ， C兩點的坐標分別為 ， ，CD⊥y軸于點D ， 直線l 經過點D.

（1）直接寫出點D的坐標；
（2）作CE⊥直線l于點E ， 將直線CE繞點C逆時針旋轉45°，交直線l于點F ， 連接BF.
①依題意補全圖形；
②通過觀察、測量，同學們得到了關于直線BF與直線l的位置關系的猜想，請寫出你的猜想；
③通過思考、討論，同學們形成了證明該猜想的幾種思路：
思路1：作CM⊥CF ， 交直線l于點M ， 可證△CBF≌△CDM ， 進而可以得出 ，從而證明結論.
思路2：作BN⊥CE ， 交直線CE于點N ， 可證△BCN≌△CDE ， 進而證明四邊形BFEN為矩形，從而證明結論.
……
請你參考上面的思路完成證明過程.（一種方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：

（2）

解：①補全圖形見圖7.

②BF⊥直線l.

③法1：

證明：如圖8，作CM⊥CF，交直線l于點M．

∵ ， ， ，

∴ ， ．

∵ CE⊥直線l，CM⊥CF， ，

可得△CEF，△CEM 為等腰直角三角形， ，

CF=CM ①

∵ ， ，

∴ ∠BCF=∠DCM ②

又∵CB=CD， ③

∴ △CBF≌△CDM．

∴

∴ ．

∴ BF⊥直線l．

法2：

證明：如圖9，作BN⊥CE，交直線CE于點N．

∵ ， ， ，

∴ ， ．

∵ CE⊥直線l， BN⊥CE，

∴ ∠BNC=∠CED=90° ①

∴ ， ．

∴ ∠1=∠2 ． ②

又∵CB=CD， ③

∴ △BCN≌△CDE．

∴ BN= CE．

又∵ ，

可得△CEF為等腰直角三角形，EF = CE．

∴ BN= EF．

又∵ ，

∴ BN∥FE．

∴ 四邊形BFEN為平行四邊形．

又∵ ，

∴ 平行四邊形BFEN為矩形．

∴ ．

∴ BF⊥直線l

【解析】（1）由圖可以直接得出D點坐標.
（2）③法1：如圖8，作CM⊥CF ， 交直線l于點M ．
由 B(4,0) ， C(4,4) ， D(0,4) ，可得△CEF，△CEM 為等腰直角三角形， 由等腰三角形性質和已知條件證△CBF≌△CDM．由全等三角形的性質
BF⊥直線l．
【考點精析】利用等腰直角三角形和余角和補角的特征對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關．