Question

23、如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，割線PCB交⊙O于C、B兩點，半徑OD⊥BC，垂足為E，AD交PB于點F．
（1）PA與PF是否相等

是

（填“是”或“否”）；
（2）若F是PB的中點，CF=1.5，則切線PA的長為

3

．

Answer 1

分析：（1）證PA、PF是否相等，可證∠PFA和∠PAF是否相等；由于PA是⊙O的切線，可得∠OAP=90°；
易知：∠D=∠OAD；那么∠DFE和∠FAP是等角的余角，因此兩角相等，可得出∠PFA=∠PAF，即PF=PA．
（2）若F是PB中點，可得出的條件是PA=PF=BF；可用PA表示出PC、PB的長，然后根據切割線定理求出PA的長．

解答：解：（1）是．
證明：∵PA是⊙O的切線，A為切點．
∴∠OAP=90°，
∴∠FAP+∠OAD=90°；
∵OD⊥BC，
∴∠DFE+∠D=90°；
又∵OA=OD，
∴∠D=∠OAD；
∴∠DFE=∠FAP=∠PFA；
∴PA=PF．

（2）∵PA是⊙O的切線，PCB是⊙O的割線，
∴PA²=PC•PB；
∵F為PB的中點，
∴PB=2PF=2PA．
∴PA²=（PA-CF）•2PA=（PA-1.5）•2PA；
∴PA²-3PA=0；
∴PA=3．

點評：此題考查了切線的性質、切割線定理及等腰三角形的性質等知識點，做題時需靈活綜合運用．