Question

【題目】如圖，已知點A、B分別在反比例函數y＝﹣（x＜0）與y＝（x＞0）圖象上，且OA⊥OB，若AB＝6，則△AOB的面積為_____．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

過A作軸，過B作軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ACO與三角形ODB相似，由A、B分別在反比例函數與圖象上，利用反比例函數k的幾何意義求出三角形AOC與三角形BOD面積，進而得到面積之比，利用面積比等于相似比的平方確定出相似比，即為OA與OB之比，設出，，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OA與OB的長，即可求出三角形AOB的面積．

解：過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，

又∵OA⊥OB，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠AOC+∠CAO＝90°，

∴∠BOD＝∠CAO，

又∵∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴△ACO∽△ODB，

∵點A，B分別分別在反比例函數y＝﹣（x＜0）與y＝（x＞0）圖象上，

∴，，即S△AOC：S△BOD＝1：2，

∴OA：OB＝1：，

在Rt△AOB中，設OA＝x，則OB＝x，AB＝6，

根據勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即36＝x2+2x2，

解得：x＝2，

∴OA＝2，OB＝2，

則S△AOB＝OAOB＝6．

故答案為：6．