Question

正方形OABC的邊長為2，把它放在如圖所示的直角坐標系中，點M（t，0）是X軸上一個動點，連接BM，在BM的右側作正方形BMNP；直線DE的解析式為y=2x+b，與X軸交于點D，與Y軸交于點E，當三角形PDE為等腰直角三角形時，點P的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：過點P作PF⊥BC交CB的延長線于點F，根據同角的余角相等可得∠ABM=∠FBP，然后利用“角角邊”證明△ABM和△FBP全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=AB，PF=AM，然后根據正方形OABC的邊長為2以及點M（t，0）表示出點P的坐標，再利用直線DE的解析式求出點D、E的坐標，然后分①DE是斜邊時，利用勾股定理以及兩點間的距離公式分別表示出PD、PE、DE的平方，再根據等腰直角三角形的三邊關系，②PD是斜邊時，過點P作PF⊥y軸于點F，然后利用“角角邊”證明△EDO和△PEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=DO，PC=EO，然后用b、t表示并求解即可得到點P的坐標．
解答：解：如圖，過點P作PF⊥BC交CB的延長線于點F，
∵四邊形OABC與四邊形BMNP都是正方形，
∴∠ABM+∠MBF=90°，
∠FBP+∠MBF=90°，
∴∠ABM=∠FBP，
在△ABM和△FBP中，，
∴△ABM≌△FBP（AAS），
∴BF=AB，PF=AM，
∵正方形OABC的邊長為2，點M（t，0），
∴BF=2，PF=t-2，
點P到x軸的距離為t-2+2=t，
∴點P的坐標為（4，t），
又∵當y=0時，2x+b=0，解得x=-，
當x=0時，y=b，
∴點D（-，0），E（0，b），
①DE是斜邊時，
PD²=（+4）²+t²，PE²=（b-t）²+4²，DE²=（）²+b²，
∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PD²=PE²，且PD²+PE²=DE²，
即（+4）²+t²=（b-t）²+4²，且（+4）²+t²+（b-t）²+4²=（）²+b²，
b²+4b+16+t²=b²-2bt+t²+16，且b²+4b+16+t²+b²-2bt+t²+16=b²+b²，
整理得，b=（t+2）且t²-b（t-2）+16=0，
∴t²-（t+2）（t-2）+16=0，
整理得，t²=16，
解得t₁=4，t₂=-4（舍去），
∴點P的坐標是（4，4）；

②PD是斜邊時，∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PE⊥DE，且PE=DE，
過點P作PF⊥y軸于點F，
∵∠DEO+∠PEO=90°，∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠PEO=∠EDO，
在△EDO和△PEF中，，
∴△EDO≌△PEF（AAS），
∴EF=DO=，PC=EO=b，
又∵點P（4，t），
∴b=4，b-t=，
解得t==×4=2，
∴點P坐標為（4，2），
此時點C、F重合，點M、N重合，
綜上所述，點P的坐標為（4，4）或（4，2）．
故答案為：（4，4）或（4，2）．
點評：本題是一次函數的綜合題型，主要利用了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，直線與坐標軸的交點的求解，勾股定理的應用，綜合題但難度不大，要注意分情況討論．