Question

如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB．
（1）請完成如下操作：①作∠BAC的平分線AE交BC邊于點E；②以AC邊上一點O為圓心，過A、E兩點作圓O（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）請在（1）的基礎上，完成下列問題：
①判斷直線BC與圓O的位置關系，并說明理由；
②若圓O與AC邊的另一個交點為F，AC=3，CE=，求線段CE、CF與劣弧EF所圍成的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

解：（1）①作∠BAC的平分線AE交BC于點E；
②作AE的垂直平分線交AC于點O，以O為圓心，OA為半徑作圓；

（2）①判斷：直線BC與圓O相切．
理由：連接OE
∵AE平分角EAB
∴∠EAC=∠EAB
∵OA=OE，所以：∠OEA=∠OAE
∴∠EAB=∠OEA 所以OE∥AB
∴∠OEC=∠B
∵∠B=90度，
∴∠OEC=90度，即：OE⊥BC
∵OE是圓O的半徑，
∴BC是圓O的切線 （
②如圖，連接EF，設圓O的半徑為r，則OC=3-r，
在Rt△OEC中，∠OEC=90°，
∴OC²=OE²+CE²，即（3-r）²=r²+（）²
∴r=1
∴OC=2，∠OCE=30°，∠EOC=60°
∵三角形OEC的面積為，扇形OEF的面積為，
∴線段CE，CF與劣弧EF所圍成的圖形的面積為．
分析：（1）首先作∠BAC的平分線AE交BC于點E，然后作AE的垂直平分線交AC于點O，以O為圓心，OA為半徑作圓即可；
（2）①證得OE⊥BC后即可判定BC是⊙O的切線；
②連接EF，設圓O的半徑為r，則OC=3-r，在Rt△OEC中利用勾股定理求得r=1，從而求得三角形OEC和扇形OEF的面積，最后求得線段CE，CF與劣弧EF所圍成的圖形的面積即可．
點評：本題考查了圓的綜合知識，其中用到了勾股定理、尺規作圖等知識，綜合性較強，難度較大．