Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．點E從點B出發沿BC方向運動，過點E作EF∥AD交邊AB于點F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點M、N，當EG過點D時，點E即停止運動．設BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y．
（1）證明△AMF是等腰三角形；
（2）當EG過點D時（如圖（3）），求x的值；
（3）將y表示成x的函數，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關于EF對稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結論；
（2）當EG過點D時在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情況討論當點G不在梯形外時和點G在梯形之外兩種情況求出x的值就可以求出y與x之間的函數關系式，在自變量的取值范圍內就可以求出相應的最大值，從而求出結論；
解答：（1）證明：如圖1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE與△BFE關于EF對稱，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形；

（2）解：如圖1，作DQ⊥AB于點Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∴AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∴∠B=90°，
∴四邊形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10-2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD==10，
∴tan∠A=，
∴tan∠EFB==
如圖3，∵EB=x，
∴FB=x，CE=6-x，
∴AF=MF=10-x，
∴GM=，
∴GD=2x-，
∴DE=-x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（-x）²-（6-x）²=4，
解得：x=，
∴當EG過點D時x=；


（3）解：當點G在梯形ABCD內部或邊AD上時，
y=x•x=x²，
當點G在邊AD上時，易求得x=，
此時0＜x≤，
則當x=時，y最大值為．
當點G在梯形ABCD外時，
∵△GMN∽△GFE，
∴，
即，由（2）知，x≤
y═-2x²+20x-=-2（x-5）²+（＜x≤），
當x=5時，y最大值為，
由于＞，故當x=5時，y最大值為．
點評：本題考查了等腰三角形的判定及性質的運用，矩形的性質的運用，勾股定理的性質的運用，軸對稱的性質的運用，函數的解析式的性質的運用，分段函數的運用，三角函數值的運用，解答時求分段函數的解析式是難點．