Question

我們把一個半圓與二次函數圖象的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點（半圓與二次函數圖象的連接點除外），那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點D，AB為半圓直徑，半圓圓心為點M，半圓與y軸的正半軸交于點C．
（1）求經過點C的“蛋圓”的切線的表達式；
（2）求經過點D的“蛋圓”的切線的表達式；
（3）已知點E是“蛋圓”上一點（不與點A、點B重合），點E關于x軸的對稱點是F，若點F也在“蛋圓”上，求點E的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意得：A（-1，0），B（3，0），D（0，-3），M（1，0）．
∴AM=BM=CM=2，
∴，
∴
∵GC是⊙M的切線，
∴∠GCM=90°
∴cos，
∴，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直線GC的表達式為；

（2）設過點D的直線表達式為y=kx-3，
∴
∴x²-（2+k）x=0，或x₁=0，x₂=2+k△=[-（2+k）]²=0，或x₁=x₂，
∴k=-2，
∴過點D的“蛋圓”的切線的表達式為y=-2x-3．

（3）假設點E在x軸上方的“蛋圓”上，設E（m，n），則點F的坐標為（m，-n）．
EF與x軸交于點H，連接EM．
∴HM²+EH²=EM²，
∴（m-1）²+n²=4，…①；
∵點F在二次函數y=x²-2x-3的圖象上，
∴m²-2m-3=-n，…②
解由①②組成的方程組得：；．（n=0舍去）
由對稱性可得：；．
∴，，，．
分析：（1）根據題意，先求得C點坐標，然后根據三角形性質求出G點坐標，用待定系數法求出直線EC的解析式；
（2）因為經過點D的“蛋圓”切線過D點，所以本題可設它的解析式為y=kx-3．根據圖象可求出拋物線的解析式，因為相切，所以它們的交點只有一個，進而可根據一元二次方程的有關知識解決問題；
（3）假設點E在x軸上方的“蛋圓”上，EF與x軸交于點H，連接EM．由HM²+EH²=EM²，點F在二次函數y=x²-2x-3的圖象上，可得方程組，以及對稱性求解．
點評：考查了二次函數綜合題，此類題目需靈活運用待定系數法建立函數解析式，并利用切線的性質，結合方程思想來解決問題．