Question

由直線y=kx+2k-1和直線y=（k+1）x+2k+1（k是正整數）與x軸及y軸所圍成的圖形面積為S，則S的最小值是

7

4

．

Answer 1

分析：首先用k表示出兩條直線與坐標軸的交點坐標，然后表示出圍成的面積S，根據得到的函數的取值范圍確定其最值即可．

解答：解：y=kx+2k-1恒過（-2，-1），
y=（k+1）x+2k+1也恒過（-2，-1），
k為正整數，那么，k≥1，且k∈Z
如圖，
直線y=kx+2k-1與X軸的交點是A（

-(2k-1)

k

，0），與y軸的交點是B（0，2k-1）
直線y=（k+1）x+2k+1與X軸的交點是C（

-(2k+1)

k+1

，0），與y軸的交點是D（0，2k+1），
那么，S_{四邊形ABDC}=S_△COD-S_△AOB，
=

1

2

（OC•OD-OA•OB），
=

1

2

[

(2k+1)2

k+1

-

(2k-1)2

k

]，
=

1

2

（4-

1

k2+k

），
=2-

1

2k2+2k

又，k≥1，且k∈Z，
那么，2-

1

2k2+2k

在定義域k≥1上是增函數，
因此，當k=1時，四邊形ABDC的面積最小，
最小值S=2-

1

4

=

7

4

．

點評：本題考查了兩條指向相交或平行問題，解題的關鍵是用k表示出直線與坐標軸的交點坐標并用k表示出圍成的三角形的面積，從而得到函數關系式，利用函數的知識其最值問題．