Question

已知拋物線y=x²+2px+2p-2的頂點為M，
（1）求證拋物線與x軸必有兩個不同交點；
（2）設拋物線與x軸的交點分別為A，B，求實數p的值使△ABM面積達到最小．

Answer 1

分析：（1）先判斷出△的符號即可得出結論；
（2）設A（x₁，0），B（x₂，0），利用兩點間的距離公式即可得出|AB|的表達式，設頂點M（a，b），再把原式化為頂點式的形式，即可得到b=-（p-1）²-1，根據二次函數的最值及三角形的面積公式即可解答．

解答：解：（1）∵△=4p²-8p+8=4（p-1）²+4＞0，
∴拋物線與x軸必有兩個不同交點．

（2）設A（x₁，0），B（x₂，0），
則|AB|²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²-8p+8=4（p-1）²+4，
∴|AB|=2

(p-1)2+1

．
又設頂點M（a，b），由y=（x+p）²-（p-1）²-1．
得b=-（p-1）²-1．
當p=1時，|b|及|AB|均取最小，此時S_△ABM=

1

2

|AB||b|取最小值1．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，涉及到的知識點為：根的判別式、兩點間的距離公式、二次函數的頂點式及三角形的面積，熟知以上知識是解答此題的關鍵．