Question

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，點M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于點F，QM交AD于點E．
（1）求證：ME=MF；
（2）如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點M作MG⊥AB于G，作MH⊥AD于H，根據正方形的性質可得MG=MH，∠GMH=90°，再根據同角的余角相等求出∠EMH=∠FMG，然后利用“角邊角”證明△EMH和△FMG全等，根據全等三角形對應邊相等可得ME=MF；
（2）過點M作MG⊥AB于G，作MH⊥AD于H，根據菱形的性質可得MG=MH，再根據四邊形的內角和定理求出∠GMH+∠A=180°，根據菱形的鄰角互補求出∠B+∠A=180°，然后求出∠EMH=∠FMG，然后利用“角邊角”證明△EMH和△FMG全等，根據全等三角形對應邊相等可得ME=MF．
解答：（1）證明：如圖1，過點M作MG⊥AB于G，作MH⊥AD于H，
∵M是正方形ABCD的對稱中心，
∴MG=MH，∠GMH=90°，
∵∠EMH+∠FMH=90°，∠FMG+∠FMH=90°，
∴∠EMH=∠FMG，
在△EMH和△FMG中，，
∴△EMH≌△FMG（ASA），
∴ME=MF；

（2）如圖2，過點M作MG⊥AB于G，作MH⊥AD于H，
∵M是正方形ABCD的對稱中心，
∴MG=MH，
∵∠GMH+∠A=360°-90°-90°=180°，
∠A+∠B=180°，
∴∠B=∠GMH，
∴∠EMF=∠GMH，
∵∠EMF=∠FMG+∠EMG，
∠GMH=∠EMH+∠EMG，
∴∠EMH=∠FMG，
在△EMH和△FMG中，，
∴△EMH≌△FMG（ASA），
∴ME=MF．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，作輔助線構造出全等三角形，再根據正方形、菱形的中心到各邊的距離相等求出ME=MF是解題的關鍵．