Question

在平面直角坐標中，點A的坐標為（0，6），點B和點C在x軸上（點B在C的左邊，點C在原點的右邊），作BE⊥AC，垂足為E（E、A不重合），直線BE與y軸交于點D，若BD=AC．
（1）結合題意畫出圖形，并求出點B的坐標；
（2）設OC=x，△BOD的面積為S，求：S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分點B在原點左邊和右邊兩種情況作出圖形，然后根據同角的余角相等求出∠CAO=∠DBO，然后利用“角角邊”證明△AOC和△BOD全等，根據全等三角形對應邊相等可得OB=OA，再分點B在原點左邊和右邊兩種情況寫出點B的坐標即可；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得OC=OD，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵BE⊥AC，
∴∠ACO+∠DBO=90°，
∵AO⊥CO，
∴∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠DBO，
在△AOC和△BOD中，

∠CAO=∠DBO ∠AOC=∠BOD=90° BD=AC

，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OB=OA，
∴A（0，6），
∴OA=6，
∴OB=6，
如圖1，點B在原點左邊時，點B（-6，0），
如圖2，點B在原點右邊時，點B（6，0）；

（2）∵△AOC≌△BOD，
∴OC=OD=x，
∴△BOD的面積為S=

1

2

×6x=3x，
∴S與x的函數關系式為S=3x（x＞0）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，坐標與圖形性質，難點在于作出圖形并分情況討論．