Question

如圖，平面直角坐標系中，點O（0，0）、A（1，0），過點A作x軸的垂線交直線y=x于點B，以O為圓心，OA為半徑的圓交y軸于C、D兩點，拋物線y=x²+bx+c經過B、D．
（1）求b，c的值；
（2）設拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE并延長交⊙O于F，求EF的長；
（3）若⊙O交x軸負半軸于點G，過點C作⊙O的切線交DG的延長線于點P．
探究：點P是否在拋物線上？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點O（0，0）、A（1，0），所以可求出圓的半徑為1，所以點B點的坐標為（1，1），D點的坐標為（0，-1），再把B，D的坐標分別代入可求出b，c的值；
（2）先求出拋物線的對稱軸，進而求出DE的長，利用三角形相似得到FD和已知線段的關系，從而求出求EF的長；
（3）現設出過D、G點的直線為：y=kx+b，再把D、G點的坐標代入求出直線的解析式，再利用條件可判斷點P是否在拋物線上．
解答：（1）點B（1，1），D（0，-1），
將B（1，1），D（0，-1），代入y=x²+bx+c，得b=1，c=-1；

（2）由，∴DE=．
連接CF，由△CFD∽△EOD，得，
∴FD=，∴EF=FD-DE=

（3）點P在拋物線上．
設過D、G點的直線為：y=kx+b，
將點G（-1，0），D（0，-1）代入y=kx+b，
得直線DG為：y=-x-1．
過點C作⊙O的切線CP與x軸平行，P點的縱坐標為1，
將y=1代入y=-x-1，得：x=-2．
∴P點的坐標為（-2，1）
又當x=-2時，y=x²+x-1=1，
∴P點在拋物線y=x²+x-1上．
點評：本題考查了二次函數、一次函數和圓的相關知識相結合，考查了用待定系數法求函數解析式、函數圖象交點個數與函數解析式組成的方程組解的個數的關系以及點的存在性問題，有一定的開放性．