Question

如圖，拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF＝2，EF＝3．

(1)求拋物線所對應的函數解析式；

(2)求△ABD的面積；

(3)將△AOC繞點C逆時針旋轉90°，點A對應點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數綜合題。

專題：

代數幾何綜合題。

分析：

(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標，然后利用待定系數法確定該函數的解析式．

(2)根據(1)的函數解析式求出A、B、D三點的坐標，以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高，可求出△ABD的面積．

(3)首先根據旋轉條件求出G點的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可．

解答：

解：(1)∵四邊形OCEF為矩形，OF＝2，EF＝3，

∴點C的坐標為(0，3)，點E的坐標為(2，3)．

把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分別代入y＝－x2＋bx＋c中，

得，

解得，

∴拋物線所對應的函數解析式為y＝－x2＋2x＋3；

(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

∴拋物線的頂點坐標為D(1，4)，

∴△ABD中AB邊的高為4，

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

所以AB＝3－(－1)＝4，

∴△ABD的面積＝×4×4＝8；

(3)△AOC繞點C逆時針旋轉90°，CO落在CE所在的直線上，由(2)可知OA＝1，

∴點A對應點G的坐標為(3，2)，

當x＝3時，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以點G不在該拋物線上．

點評：

這道函數題綜合了圖形的旋轉、面積的求法等知識，考查的知識點不多，難度適中．